Question

（2012•肇慶二模）已知點P是圓F₁：(x+

3

)2+y2=16上任意一點，點F₂與點F₁關于原點對稱．線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A，B，點K是軌跡C上異于A，B的任意一點，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點Q使得HK=KQ，連接AQ延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D，N為DB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

Answer 1

分析：（1）先確定F₁、F₂的坐標，再根據線段PF₂的中垂線與PF₁交于M點，結合橢圓的定義，可得點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，從而可得點M的軌跡C的方程；
（2）先確定Q點在以AB為直徑的圓O上，再驗證

OQ

•

NQ

 =0，即可知直線QN與圓O相切．

解答：解：（1）由題意得，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)（1分）
圓F₁的半徑為4，且|MF₂|=|MP|（2分）
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4＞|F1F2|=2

3

（3分）
∴點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中長軸2a=4，焦距2c=2

3

，
則短半軸b=

a2-c2

=

4-3

=1，（4分）
橢圓方程為：

x2

4

+y2=1（5分）
（2）設K（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1．
∵HK=KQ，∴Q（x₀，2y₀）．∴OQ=

x02+(2y02)

=2（6分）
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上．即Q點在以AB為直徑的圓O上．（7分）
又A（-2，0），∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．                      （8分）
令x=2，得D(2，

8y0

x0+2

)．                                            （9分）
又B（2，0），N為DB的中點，∴N(2，

4y0

x0+2

)．                          （10分）
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．                               （11分）
∴

OQ

•

NQ

=x0(x0-2)+2y0•

2x0y0

x0+2

=x0(x0-2)+

4x0y02

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4-x02)

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．                                          （13分）
∴

OQ

⊥

NQ

．∴直線QN與圓O相切．（14分）

點評：本題以圓的方程為載體，考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是利用橢圓的定義判斷軌跡的類型，利用向量的數量積為0，判斷直線QN與圓O相切．