Question

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），M是動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）過定點(diǎn)T（-1，0）的動(dòng)直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若S（-

17

8

，0），證明：

SP

•

SQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），可得

SP

•

SQ

=

33

64

；當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程聯(lián)立方程組，消去y得一元二次方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積運(yùn)算，可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（x≠±2）
∵定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，
∴

y

x+2

×

y

x-2

=-

1

4

，
∴

x2

4

+y2=1（x≠±2）
（Ⅱ）證明：當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），若S（-

17

8

，0），

SP

•

SQ

=

33

64

．
當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立方程組，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

∴

SP

=（x₁+

17

8

，y1），

SQ

=（x₂+

17

8

，y2），
∴

SP

•

SQ

=（x₁+

17

8

，y1）•（x₂+

17

8

，y2）=

-4(1+4k2)

1+4k2

+

172

82

=

33

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示出

SP

•

SQ

，進(jìn)而確定定值．