Question

已知函數 ．

（1）判斷函數在的單調性并用定義證明；

（2）令，求在區間的最大值的表達式．

 

Answer 1

（1）函數在遞增；證明詳見答案解析.

（2）當時，；當時，．

【解析】

試題分析：（1）先根據已知條件求出，再根據單調性的定義證明即可；

（2）由（1）先求出的表達式，再根據單調性求得各個區間的最大值，綜上即可求出在區間的最大值的表達式．

試題解析：（1）在遞增；

證明如下：

在區間上任取

則

而，所以，>0

所以，即函數在的單調遞增；（6分）

（2）若，，在遞增，，

若，）在遞減，， （9分）

若，則 （11分）

當時，函數遞增， ，

當時，函數遞減，； （13分）

，當 時，，當時，

．

綜上：時，，當時，． （15分）

考點：函數的單調性、分段函數求值域問題.