Question

如圖，球心到截面的距離為半徑的一半，BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點，CA是球O的直徑．
（1）求證：平面ABD⊥平面ADC；
（2）如果球半徑是

13

，D分

BC

為兩部分，且

BD

：

DC

=1：2，求AC與BD所成的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點，CA是球O的直徑．由圓周角定理，可得CD⊥BD，CD⊥AD，由線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面ABD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面ABD⊥平面ADC；
（2）根據球半徑是

13

，D分

BC

為兩部分，且

BD

：

DC

=1：2，我們可以分別求出cos∠ACB，cos∠CBD，然后利用三余弦定理，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵BC是截面圓的直徑，D是圓周上一點，CA是球O的直徑．
∴CD⊥BD，CD⊥AD，又由BD∩AD=D
∴CD⊥平面ABD，又由CD?平面ADC
∴平面ABD⊥平面ADC；
解：（2）∵球心到截面的距離為半徑的一半，球半徑AC=

13

，
則BC=

39

，∴cos∠ACB=

3

2

又∵D分

BC

為兩部分，且

BD

：

DC

=1：2，
∴cos∠CBD=

1

2

，
設AC與BD所成的角為θ，
由三余弦定理得：Cosθ=

3

4

則AC與BD所成的角為arccos

3

4

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中求平面的一條斜線與平面內一條直線的夾角時所用的三余弦定理是解答本題的關鍵．