Question

設(shè)f(n)＝2ⁿ－1(n∈N^*)，試問(wèn)：n是怎樣的自然數(shù)時(shí)，f(n)是素?cái)?shù)還是分?jǐn)?shù)？

Answer 1

答案：
解析：

　　導(dǎo)思：對(duì)于此類問(wèn)題，我們?cè)谕评淼倪^(guò)程中，可以采用歸納推理，也可應(yīng)用演繹推理，把兩種方法結(jié)合起來(lái)，由歸納獲得猜想假定，通過(guò)鑒別猜想假定的真?zhèn)危�獲得確定結(jié)果后，再給予演繹證明．

　　探究：試驗(yàn)——?dú)w納——猜想．

　　取n＝1，2，…，10，所得結(jié)果列表如下：

　　由上表可知，當(dāng)n為素?cái)?shù)2，3，，5，7時(shí)，f(n)為素?cái)?shù)；當(dāng)n為合數(shù)4，6，8，9時(shí)，f(n)為合數(shù)．

　　繼續(xù)試探，當(dāng)n＝11時(shí)，f(n)＝2¹¹－1＝2047＝23×89為合數(shù)．因此要放棄“n為素?cái)?shù)時(shí)，f(n)為素?cái)?shù)”的猜想．

　　再繼續(xù)試驗(yàn)，當(dāng)n＝12，14時(shí)，f(n)仍為合數(shù)，于是進(jìn)一步猜想“n為合數(shù)時(shí)，f(n)為合數(shù)．”

　　用演繹法推證：

　　設(shè)n為合數(shù)，令n＝ml(m、l為大于1的自然數(shù))，則

　　f(n)＝2ⁿ－1＝2^ml－1＝(2^m)^l－1^l

　　＝(2^m－1)[(2^m)^l－1＋(2^m)^l－2＋…＋(2m)^l－1]

　　因此2^ml－1可被2^m－1整除，又因?yàn)閙＞1，l＞1，所以1＜2^m－1＜2^ml－1．據(jù)此可斷定“n為合數(shù)時(shí)，f(n)是合數(shù)”為真．