Question

已知f（x）=log_a

1-x

1+x

，（a＞0且a≠1）．
（1）若m，n∈（-1，1），求證f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

）；
（2）判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明；
（3）確定f（x）在（0，1）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）欲證f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

）成立，把左右兩邊分別代入函數表達式，左邊利用對數的運算性質進行化簡，可變形為log_a

1-m-n+mn

1+m+n+mn

，再通過真數的分子分母都除以1+mn，即可化簡成右邊的形式，命題得證．
（2）利用函數奇偶性的變形形式，即只需證明f（-x）+f（x）=0，則函數必為奇函數，利用對數函數的運算性質，化簡f（-x）+f（x）即可．
（3）利用單調性的定義證明，只需設函數在（0，1）上任意兩個x₁，x₂，且x₁＜x₂，再作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小即可，作差后一定要將差分解為幾個因式的乘積的形式，再判斷每一個因式的符號，根據負因式的個數判斷積的符號，最后得出結論．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a

1-x

1+x

，∴

1-x

1+x

＞0⇒-1＜x＜1
  m，n∈（-1，1），∴f（m）+f（n）=log_a

1-m

1+m

+log_a

1-n

1+n

=log_a（

1-m

1+m

•

1-n

1+n

）
=log_a

1-m-n+mn

1+m+n+mn

=log_a

1+mn-m-n 1+mn

1+mn+m+n 1+mn

=log_a

1- m+n 1+mn

1+ m+n 1+mn

=f（

m+n

1+mn

）   
（2）∵f（-x）+f（x）=log_a

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=log_a

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=log_a1=0，
∴f（x）在其定義域（-1，1）上為奇函數．   
（3）設0＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=log_a

1-x1

1+x1

-log_a

1-x2

1+x2

=log_a

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

=log_a

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴1+x₂-x₁-x₁x₂＞1+x₁-x₂-x₁x₂＞0⇒

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1
∴當0＜a＜1，f（x₁）-f（x₂）＜0，從而f（x）在（0，1）上為增函數；
當a＞1，f（x₁）-f（x₂）＞0，從而f（x）在（0，1）上為減函數．

點評：本題主要考查了函數奇偶性與單調性的證明，屬于概念考查題，做題時嚴格按照步驟去做．