Question

已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥2ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；
（2）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，使最大值小于等于0，可求出a的取值范圍；

解答：解：（1）∵f（0）=0，∴P（0，0）
∴f'（x）=2ln（2x+1）+2，∴f'（0）=2                         2分
所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=2x           …4分
（2）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，
對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)：g′（x）=2ln（2x+1）+2-2a
令g′（x）=0，解得x=

ea-1-1

2

，…6分
（i）當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（0）=0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)（x）≥g（0），
即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有　f（x）≥2ax．                    …8分
（ii）當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜

ea-1-1

2

，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，

ea-1-1

2

）是減函數(shù)，
又g（0）=0，所以對(duì)0＜x＜

ea-1-1

2

，都有g(shù)（x）＜g（0），10分
即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥2ax成立．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．                               …12分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．