Question

（14分）已知定義在上的函數，其中為常數.
（1）若，求證：函數在區間上是增函數；
（2）若函數，在處取得最大值，求正數的取值范圍.

Answer 1

（1）略（2）

解：（1）當時，在區間上是增函數，
當時，，，
函數在區間上是增函數，
綜上得，函數在區間上是增函數.        ………………6分
(2)

令  ………………10分
設方程（*）的兩個根為（*）式得，不妨設.
當時，為極小值，所以在[0，1]上的最大值只能為或；      ………10分
當時，由于在[0，1]上是單調遞減函數，所以最大值為，
所以在[0，1]上的最大值只能為或，              ……12分
又已知在處取得最大值，所以
即.      …………14分