Question

【題目】已知點(diǎn)的序列，其中.（是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，……，是線段的中點(diǎn)，…）

（1）寫出與之間的關(guān)系；

（2）設(shè)，計(jì)算，由此推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且加以證明；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得與之間的關(guān)系.

（2）根據(jù)，猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

（3）由（2）利用累加法求得的表達(dá)式并根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和，進(jìn)而求得.

（1）依題意，點(diǎn)的序列，其中.（是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，……，是線段的中點(diǎn)，…）.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：.

（2）.

猜想，.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，，等式成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，

那么當(dāng)時(shí)，

.

所以當(dāng)時(shí)等式也成立，根據(jù)①和②，對(duì)，等式都成立.

（3）由與，得

，，，…，.

由于，以上各式相加，得.

而是以為公比的等比數(shù)列，.

.