Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域為[-2，t]（t＞-2．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數；
（2）求證：f（t）＞f（-2）；
（3）當1＜t＜4時，求滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的個數．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調區間的關系求出函數的單調區間，進而確定出t的取值范圍；
（2）運用函數的極小值進行證明；
（3）首先對關系式進行化簡，然后利用根與系數的關系進行判定．

解答：（1）解：因為f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
欲使f（x）在[-2，t]上為單調函數，則-2＜t≤0．
所以t的取值范圍為（-2，0]．
（2）證明：因為f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=

13

e2

＜e，
所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t）；
（3）因為

f′(x0)

ex0

=x02-x₀，所以足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2即為x02-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，從而問題轉化為求方程g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²=0在[-2，t]上的解的個數，
因為g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t+2)(t-4)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

（t+2）（t-1），
所以當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有兩解．
即，滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的個數為2．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值及函數零點問題，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化