Question

如圖在△ABC中，設

AB

=

a

，

AC

=

b

，又

BD

=2

DC

，|

a

|=2，|

b

|=1，?

a

，

b

＞=

π

3

，（?

a

.

b

＞是表示向量

a

，

b

的夾角）
（1）用

a

，

b

表示

AD

（2）若點E是AC邊的中點，直線BE交AD于F點，求

AF

•

AB

．

Answer 1

分析：（1）利用向量的三角形法則，把

AD

放入三角形中，用其他向量表示，最后，轉化到用

a

，

b

向量表示即可．
（2）先判斷F點分AD的比是多少，可通過過D點作DM∥AC，構造成比例線段，來判斷P點的位置，再把

AF

用

AD

表示，根據（1）中結果轉化為

a

，

b

．計算

AF

•

AB

即可．

解答：解：（1）

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

2

3

BC

=

AB

+

2

3

(

AC

-

AB

)=

1

3

AB

 +

2

3

AC

=

1

3

a

+

2

3

b

（2）過D點作DM∥AC，交BE與點M，∵

BD

=2

DC

，DM∥AC，∴

|DM|

|CE|

=

|BD|

|BC|

=

2

3

又∵點E是AC邊的中點，∴

|DM|

|AE|

=

2

3

∵DM∥AC，∴

|DM|

|AE|

=

|DM|

AM|

=

2

3

，∴

AF

=

3

5

AD

=

3

5

(

1

3

a

+

2

3

b

)=

1

5

a

+

2

5

b

，
∴

AF

•

AB

=(

1

5

a

+

2

5

b

)•

a

=

1

5

(|

a

|)2+

2

5

|

a

||

b

|cos

π

3

=

4

5

+

2

5

=

6

5

點評：本題考查了向量的幾何運算，做題時應認真分析，找到突破口．