Question

AF是圓O的直徑，B，C是圓上兩點，AB與AC的延長線分別交過點F的切線于點D，E，
求證：（Ⅰ）B，C，D，E四點共圓；
（Ⅱ）AB·AD=AC·AE。

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接BF， ∵AF是圓O的直徑，DE與圓O切于點F， ∴AF⊥DE， 又點B在圓O上， ∴∠ABF=90°，∠AFB=∠D， 又∠AFB=∠ACB， ∴∠ACB=∠D， 而∠ACB是四邊形BDEC的一個外角， ∴B，C，D，E四點共圓；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ACB=∠D，∠ABC=∠E， ∴△ABC∽△AED， ∴， 即AB·AD= AC·AE。