Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2

且點P(3，

7

)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標原點，過點Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

（1）由已知e=

2

可知雙曲線為等軸雙曲線，則a=b，
所以，雙曲線方程為x²-y²=a²，
又點P(3，

7

)在雙曲線C上，∴32-(

7

)2=a2，
解得a²=2，b²=2，
所以，雙曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）由題意直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2
由

y=kx+2 x2 2 - y2 2 =1

得（1-k²）x²-4kx-6=0，
設直線l與雙曲線C交于E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），則x₁、x₂是上方程的兩不等實根，
∴1-k²≠0，且△=16k²+24（1-k²）＞0，即k²＜3且k²≠1①，
這時x1+x2=

4k

1-k2

，x1•x2=-

6

1-k2

又S△OEF=

1

2

|OQ|•|x1-x2|=

1

2

×2×|×1-x2|=|x1-x2|=2

2

即(x1+x2)2-4x1x2=8，∴(

4k

1-k2

)2+

24

1-k2

=8．
整理得3-k²=（k²-1）²，即k⁴-k²-2=0，∴（k²+1）（k²-2）=0
又k²+1＞0，∴k²-2=0，∴k=±

2

，適合①式．
所以，直線l的方程為y=

2

x+2與y=-

2

x+2．