Question

已知函數f（x）=x|x+1|-x-2．
（1）求函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值；
（2）是否存在區間[m，n]，使得函數的定義域與值域均為[m，n]，若存在，請求出所有可能的區間[m，n]，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把f（x）化為分段函數，然后作出函數圖象，根據圖象可知其單調性，由單調性可求得函數的最值；
（2）分情況進行討論：①當0≤m＜n時，根據函數的單調性可得最值，從而可得方程組，解出判斷即可；②當m＜0時，若n＜0也可判斷單調性，同理可得方程組；
若n≥0，即m≤-1＜0≤n，可判斷出最大值，令其為n可求得n值，再討論最小值令其為m可求m值；

解答：解：（1）f（x）=x|x+1|-x-2=

x2-2，x≥-1 -x2-2x-2，x＜-1

，
作出函數圖象，如圖所示：
可知函數f（x）在區間[-2，-1]上是增函數，在區間（-1，0]上是減函數，在區間（0，2]上是增函數，
又f（-1）=-1，f（2）=2，所以函數f（x）在區間[-2，2]上的最大值為f（2）=2．
（2）f（x）=x|x+1|-x-2=

x2-2，x≥-1 -x2-2x-2，x＜-1

，
①當0≤m＜n時，則f（x）在區間[m，n]上單調遞增，
故

f(m)=m f(n)=n

，∴

m2-2=m n2-2=n

，解得m=n=2，矛盾；
②當m＜0時，m≤f（m）≤f（-1）=-1，
若n＜0，則n≤f（-1）=-1，此時f（x）在區間[m，n]上單調遞增，
故

f(m)=m f(n)=n

，∴

-m2-2m-2=m -n2-2n-2=n

，解得

m=-2 n=-1

，符合題意；
若n≥0，即m≤-1＜0≤n，此時f（x）在區間[m，n]上的最大值為f（-1）與f（n）中較大者，而f（-1）=-1＜0，
∴f（n）=n，即n²-2=n，解得n=2，
f（x）在區間[m，n]上的最小值為f（0）與f（m）中較小者，
若f（0）=m=-2，此時f（m）=f（-2）=-2=f（0），符合題意；
若f（m）=m，則-m²-2m-2=m且m≤-2，解得m=-2．符合題意；
綜上，滿足題意的區間有兩個：[-2，-1]和[-2，2]．

點評：本題考查函數單調性的應用、二次函數最值的求解，考查分類討論思想、數形結合思想，考查學生解決問題的能力．