Question

（本小題滿分13分）
給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到距離為．
（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線，使得與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線的斜率之積是否為定值,并說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得：，半焦距       
則橢圓C方程為                       
“伴隨圓”方程為                             ……………3分
（Ⅱ）則設過點且與橢圓有一個交點的直線為：，         
則整理得
所以，解①    ……………5分
又因為直線截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為，
則有化簡得  ②      ……………7分
聯立①②解得，，
所以，，則                   ……………8分
（Ⅲ）當都有斜率時，設點其中，
設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
由，消去得到  ……………9分
即， ，  
經過化簡得到：，               ……………11分
因為，所以有，
設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，
所以滿足方程，
因而，即直線的斜率之積是為定值           ……………13分

略