Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R
（1）求f（x）的表達式，并給出一個f（x）取得最大值時的x的值；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）若關于x的方程f（x）-m=0（x∈[-

π

4

，

π

3

]有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），函數f（x）=

a

•

b

，根據平面向量的數量積公式，結合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，我們易將函數的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數的性質，我們可以求出函數 f（x）的最大值及取得最大值時的x的值；
（2）由（1）中函數的解析式，結合正弦型函數的單調性，我們易求出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）由（1）中函數的解析式，結合正弦型函數的單調性，得到函數的最值，進而得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=（2cosx，1）（cosx，

3

sin2x）
=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1．        
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f_max=3，此時x+

π

6

=

π

2

+2kπ
故一個f（x）取得最大值時的x的值為x=

π

3

；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
函數遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
故-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
此時2sin（2x+

π

6

）+1∈[1-

3

，3]
故m∈[1-

3

，3]時方程有解．

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，正弦型函數的圖象和性質，函數圖象的平移變換法則，其中根據平面向量的數量積公式和輔助角公式，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．