Question

一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．
（1）將此枕木翻轉90°（即寬度變為了厚度），枕木的安全負荷變大嗎？為什么？
（2）現有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，木材長度即為枕木規定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？

Answer 1

分析：（1）根據題意，可設原來的安全負荷為y1=k•

ad2

l2

，將此枕木翻轉90°后，枕木的寬度與厚度互換，安全負荷變為：y2=k•

da2

l2

．然后通過作商比較大小，討論a、d的大小關系，可得正確結論；
（2）半圓的半徑為R，設截取的枕木寬為a，高為d，則根據垂徑定理，得a²+4d²=4R²．根據木材長度l為枕木規定的長度是一個不變的定值，得到當u=ad²最大時，安全負荷最大，建立關系式u=d2

a2

=2

d4(R2-d2)

．利用基本不等式可得：當且僅當

d2

2

=R2-d2，u最大，即安全負荷達到最大值

4 3 9 R3

．

解答：解：（1）由題可設安全負荷為：y1=k•

ad2

l2

（k為正常數），
則翻轉90°后，安全負荷為：y2=k•

da2

l2

．
因為

y1

y2

=

d

a

，
所以，當0＜d＜a時，y₁＜y₂．安全負荷變大；
當0＜a＜d時，y₁＞y₂，安全負荷變小．
（2）如圖，設截取的枕木寬為a，高為d，
則根據垂徑定理，得(

a

2

)2+d2=R2，即a²+4d²=4R²．

∵枕木長度不變，
∴u=ad²最大時，安全負荷最大
∴u=d2

a2

=d2

4R2-4d2

=2

d4(R2-d2)

=4 d2 2 • d2 2 •(R2-d2) ≤4 ( d2 2 + d2 2 +(R2-d2) 3 )3 = 4 3 R3 9

當且僅當

d2

2

=R2-d2，
即取d=

6

3

R，a=2

R2-d2

=

2 3

3

R時，u最大，即安全負荷最大．

點評：本題借助于一個實際問題，通過求枕木安全負荷的最值，著重考查了基本不等式在最值問題中的應用，考查了根據實際問題選擇函數類型的方法，屬于中檔題．