Question

已知a∈R，函數f(x)＝4x³－2ax＋a.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)證明：當0≤x≤1時，f(x)＋|2－a|＞0.

Answer 1

(1) 函數f(x)的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為.
(2)見解析

(1)由題意得f′(x)＝12x²－2a.
當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，此時f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．
當a＞0時，f′(x)＝12，
此時函數f(x)的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為.
(2)證明：由于0≤x≤1，故當a≤2時，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.
當a＞2時，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.
設g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，則
g′(x)＝6x²－2＝6.
于是

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	減	極小值	增	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.
所以當0≤x≤1時，2x³－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.