Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，動點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上運動，且PA=r（0＜r＜

3

），記點P的軌跡的長度為f（r），則f(

1

2

)=______．（填上所有可能的值）．

Answer 1

如圖所示：①當0＜r≤1時，f（r）=3×

π

2

×r=

3π

2

r；∴f(

1

2

)=

3π

4

．此時，由一次函數的單調性可得：0＜f(r)≤

3π

2

＜5．
②當1＜r≤

2

時，在平面ABCD內，設以點A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點E、F，則cos∠DAF=

1

r

，∠EAF=

π

2

-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2×

1-( 1 r )2

×

1

r

=

2 r2-1

r2

，cos∠EAG=

2r2-( 2 r2-1 )2

2r2

=

1

r2

，
∴f（r）=3rarccos

2 r2-1

r2

+3rayccos

1

r2

；
③當

2

＜r＜

3

時，∵CM=

r2-2

，∴C1M=C1N=1-

r2-2

，∴cos∠MAN=

2r2-[ 2 (1- r2-2 )]2

2r2

=

1+2 r2-2

r2

，
∴f（r）=3rarccos

1+2 r2-2

r2

．
綜上可知：當0＜r≤1時，f(r)=

3π

2

r；當1＜r≤

2

時，f（r）=3rarccos

2 r2-1

r2

+3rayccos

1

r2

；當

2

＜r＜

3

時，∴f（r）=3rarccos

1+2 r2-2

r2

．
根據以上解析式及圖性和對稱性可得f（r）的圖象：
由圖象不難看出：函數y=f（r）與y=k的交點個數分別為，0，2，3，4．
故答案為f(

1

2

)=

3π

4

．關于r的方程f（r）=k的解的個數可能為0，2，3，4．