Question

【題目】設m是實數，f（x）=m﹣ （x∈R）
（1）若函數f（x）為奇函數，求m的值；
（2）試用定義證明：對于任意m，f（x）在R上為單調遞增函數；
（3）若函數f（x）為奇函數，且不等式f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數f（x）=m﹣ 為奇函數，

可得f（﹣x）=m﹣ =m﹣ ，且f（﹣x）+f（x）=0，

∴2m﹣ =2m﹣2=0（注：通過f（0）=0求可以，但要驗證）

∴m=1；

（2）

解：證明：設x1，x2∈R，x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（m﹣ ）﹣（m﹣ ）= ﹣ =

∵x1，x2∈R，x1＜x2，

∴0＜2 ＜2 ，即2 ﹣2 ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．

則f（x）在R上為增函數．

（3）

解：由于f（x）為奇函數且在R上為增函數，

由f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0得：f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

∴k3x＜﹣3x+9x+2即k＜﹣1+3x+ ，

由3x＞0，可得y=﹣1+3x+ ≥﹣1+2 =2 ﹣1，

當且僅當3x= ，即x=log3 時，取得最小值2 ﹣1，

則k＜2 ﹣1．

故實數k的取值范圍是（﹣∞，2 ﹣1）．

【解析】（1）由奇函數的定義，可得f（﹣x）+f（x）=0，化簡整理，解方程可得m的值（也可通過f（0）=0）；（2）運用單調性的定義證明，分取值、作差、變形和定符號、下結論等；（3）由于f（x）為奇函數且在R上為增函數，由題意可得k3x＜﹣3x+9x+2即k＜﹣1+3x+ ，運用基本不等式求得右邊函數的最小值，即可得到所求k的范圍．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．