Question

是否存在實數(shù)λ，使函數(shù)f（x）=2cos²x-4λcosx-1（0≤x≤

π

2

）的最小值是-

3

2

？若存在，求出所有的λ和對應(yīng)的x值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：利用三角公式，將f（x）進(jìn)行化簡，然后利用f（x）的最小值，確定條件關(guān)系即可．

解答：解：f（x）=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1，
∵0≤x≤

π

2

，∴0≤cosx≤1，
∵最小值為-

3

2

，
∴（Ⅰ）

0≤λ≤1 -2λ2-1=- 3 2

或（Ⅱ） 

λ＜0 -1=- 3 2

或（Ⅲ） 

λ＞1 -4λ+1=- 3 2

，
由（Ⅰ）解得λ=

1

2

，這是cosx=

1

2

，x=

π

3

（Ⅱ）無解，（Ⅲ）無解，
所以存在實數(shù)λ，它的值是

λ= 1 2 x= π 3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角化簡公式．