Question

據市場調查，某種商品一年內每件出廠價在6千元的基礎上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價8千元，7月份價格最低為4千元；該商品每件的售價為g（x）（x為月份），且滿足g（x）=f（x-2）+2．
（1）分別寫出該商品每件的出廠價函數f（x）、售價函數g（x）的解析式；
（2）問哪幾個月能盈利？

Answer 1

分析：（1）由題意要建立形如：f（x）=Asin（ωx+φ）+B，的三角函數模型，則根據各參數的意義求解．
（2）要盈利的話則須售價高于出廠從，即由g（x）＞f（x），建立三角不等式sin

π

4

x＜

2

2

求解．

解答：解：（1）f（x）=Asin（ωx+φ）+B，由題意可得A=2，
B=6，ω=

π

4

，φ=-

π

4

，
所以f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6（1≤x≤12，x為正整數），
g（x）=2sin（

π

4

x-

3

4

π）+8（1≤x≤12，x為正整數）．
（2）由g（x）＞f（x），得sin

π

4

x＜

2

2

．
2kπ+

3

4

π＜

π

4

x＜2kπ+

9

4

π，k∈Z，
∴8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k=0時，3＜x＜9，
∴x=4，5，6，7，8；
k=1時，11＜x＜17，∴x=12．
∴x=4，5，6，7，8，12．
即其中4，5，6，7，8，12月份能盈利．

點評：本題主要考查三角函數實際應用模型，從根本上來考查f（x）=Asin（ωx+φ）+B，各參數的意義，同時還考查了三角不等式，求解時可選用三角函數線，也可選用三角函數的圖象．