Question

已知函數，其中是自然對數的底數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，試確定函數的零點個數，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調減區間為；單調增區間為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導得，，因為，所以的解集為，即單調遞增區間；的解集為，即單調遞減區間；（Ⅱ）函數，令，得，顯然是一個零點，記，求導得，易知時遞減；時遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數的零點個數1個.

試題解析：（Ⅰ）解：因為，，所以．

令，得．當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調減區間為；單調增區間為．

（Ⅱ）解：結論：函數有且僅有一個零點. 理由如下：

由，得方程， 顯然為此方程的一個實數解.

所以是函數的一個零點. 當時，方程可化簡為.設函數，則，令，得．

當變化時，和的變化情況如下：

	↘		↗

即的單調增區間為；單調減區間為．所以的最小值.

因為 ， 所以，所以對于任意，，因此方程無實數解．所以當時，函數不存在零點.綜上，函數有且僅有一個零點. 考點：1、導數在單調性上的應用；2、函數的極值和最值；3、函數的零點.