Question

已知中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點（

2

，

2

2

）．
（ I）求橢圓方程；
（ II）設不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為k₁、k₂，滿足4k=k₁+k₂，求m²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的方程、離心率e=

c

a

及a²=b²+c²即可得出；
（Ⅱ）把直線方程與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系及已知條件即可得出．

解答：解：（ I）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意可得

e= c a = 3 2 ( 2 )2 a2 + ( 2 2 )2 b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，c=

3

．
∴橢圓的方程

x2

4

+y2=1．
（ II）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵直線l與該橢圓交于P、Q兩點，∴△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，
化為4k²+1＞m²．（*）
∴

x1+x2=- 8km 4k2+1 x1x2= 4m2-4 4k2+1

，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

，4k=k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

y1x2+y2x1

x1x2

=

2kx1x2+m(x1+x2)

x1x2

=2k-

2km2

m2-1

，
化為2=1-

m2

m2-1

，
∴m2=

1

2

，滿足（*）．
故m2=

1

2

．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交的解題模式、根與系數的關系、斜率計算公式是解題的關鍵．