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如圖，已知AB是過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的弦，F為拋物線的焦點，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求證：
（1）|AB|=x₁+x₂+p；
（2）y₁ y₂=-p²，x₁ x₂= $數學公式$ ；
（3）（理科）直線的傾斜角為θ時，求弦長|AB|．
（3）（文科）當p=2，直線AB的傾斜角為 $數學公式$ 時，求弦長|AB|．

（1）證明：∵AB是過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的弦，
∴由拋物線定義可得|AB|=x₁+ $\text{[math]}$ +x₂+ $\text{[math]}$ =x₁+x₂+p；
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+ $\text{[math]}$ ，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0
∴y₁y₂=-p²，∴x₁x₂= $\text{[math]}$ ；
（3）（理科）解：由（2）知，y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，∴ $\text{[math]}$ =（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4p²m²+2p²，
∴ $\text{[math]}$ =2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°時，m=0，∴|AB|=2p；θ≠90°時，m= $\text{[math]}$ ，|AB|= $\text{[math]}$ +2p；
（4）（文科）由（3）（理科）知，|AB|= $\text{[math]}$ +2p=8．
分析：（1）利用拋物線的定義，即可證明；
（2）設直線AB的方程為x=my+ $\text{[math]}$ ，代入y²=2px，再利用韋達定理，即可得到結論；
（3）（理科）根據（1）的結論，表示出x₁+x₂即可；
（3）（文科）根據（3）（理科）的結論，即可求解．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查弦長的計算，屬于中檔題．

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如圖，已知直線l與拋物線x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）．
（1）若動點M滿足

•

|=0，求動點M的軌跡Q；
（2） F₁，F₂是軌跡Q的左、右焦點，過F1作直線l（不與x軸重合），l與軌跡Q相交于C，D，并與圓x²+y²=3相交于E，F．當

F2E

•

F2F

=λ，且λ∈[

，1]時，求△F₂CD的面積S的取值范圍．

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如圖，已知AB是過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的弦，F為拋物線的焦點，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求證：
（1）|AB|=x₁+x₂+p；
（2）y₁ y₂=-p²，x₁ x₂=

；
（3）（理科）直線的傾斜角為θ時，求弦長|AB|．
（3）（文科）當p=2，直線AB的傾斜角為

時，求弦長|AB|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+b與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a為正常數）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實數a，b，k滿足的等量關系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線l與拋物線x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）．
（1）若動點M滿足

•

|=0，求動點M的軌跡Q；
（2） F₁，F₂是軌跡Q的左、右焦點，過F1作直線l（不與x軸重合），l與軌跡Q相交于C，D，并與圓x²+y²=3相交于E，F．當

F2E

•

F2F

=λ，且λ∈[

，1]時，求△F₂CD的面積S的取值范圍．

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