Question

已知A、B、C是橢圓M：上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），BC過橢圓M的中心，且。

（1）求橢圓M的方程；
（2）過點(diǎn)（0，t）的直線（斜率存在時(shí)）與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），
∴，橢圓方程為，      ①
又∵，且BC過橢圓M的中心 O（0，0），
∴，
又∵，
∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，
易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
將（，）代入①式得，
∴橢圓M的方程為。
（2）當(dāng)直線的斜率k=0，直線的方程為y=t，則滿足題意的t的取值范圍為-2<t<2，
當(dāng)直線的斜率k≠0時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+t，
由，得，
∵直線與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，
∴△=，
即，                                       ②
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)，
則H的橫坐標(biāo)， 縱坐標(biāo)，
D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），
由，得DH⊥PQ，，
即，即，     ③
∴，∴t>1，                                     ④
由②③得0<t<4，結(jié)合④得到1<t<4，
綜上所述，t的取值范圍是（-2，4）。