Question

（2013•黃浦區二模）已知f(x)=4-

1

x

，若存在區間[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，則實數m的取值范圍是

（0，4）

．

Answer 1

分析：依題意，f（x）=4-

1

x

在[a，b]上單調增，則f（a）=ma，f（b）=mb，從而可得mx²-x+1=0必須有兩個不相等的正根，利用該方程有二異正根的條件即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=4-

1

x

在（0，+∞）是增函數，
∴f（x）在x∈[a，b]上值域為[f（a），f（b）]
所以f（a）=ma且f（b）=mb，
即4-

1

a

=ma且4-

1

b

=mb，
所以ma²-4a+1=0且mb²-4b+1=0，
所以mx²-4x+1=0必須有兩個不相等的正根，故m≠0，
∴

4 2m ＞0 1 m ＞0 △=16-4m＞0

，解得0＜m＜4．
∴實數m的取值范圍是（0，4）．
故答案為：（0，4）．

點評：本題考查函數單調性的性質，著重考查二次函數根的分布問題，將所求的問題轉化為mx²-x+1=0必須有兩個不相等的正根是關鍵，屬于難題．