Question

已知tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

(x≠kπ+

π

4

)，那么函數y=tanx的周期為π．類比可推出：已知x∈R且f(x+π)=

1+f(x)

1-f(x)

，那么函數y=f（x）的周期是（　　）

A．π

B．2π

C．4π

D．5π

Answer 1

分析：根據tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

(x≠kπ+

π

4

)，那么函數y=tanx的周期為π，利用f(x+π)=

1+f(x)

1-f(x)

，可計算得f（x+4π）=f（π），從而可求函數y=f（x）的周期

解答：解：∵f(x+2π)=f(x+π+π)=

1+f(x+π)

1-f(x+π)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

∴f(x+4π)=f[(x+2π)+2π]=-

1

f(x+2π)

=-

1

- 1 f(π)

=f(π)
∴函數y=f（x）的周期是4π
故選C．

點評：本題重點考查函數的周期，考查類比思想，解題的關鍵是利用解析式化簡，利用函數周期的定義進行判斷．