Question

已知點P與定點F（1，0）的距離和它到定直線的距離之比是1：2，

（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點F的直線交曲線C與A，B兩點，A，B在上的射影分別為M，N。求證：AN與BM的公共點在軸上。

Answer 1

（I）解:設P點的坐標為(),由題設得:,

    化簡得：即

    點P的軌跡C的方程是

（II）證明：當直線AB與軸重合時，A，B兩點分別是橢圓長軸的兩個端點，則它們的射影都在直線與軸的交點處，則AN與BM的公共點就為橢圓的右頂點到直線與軸的交點的線段，此時滿足題意

 設AB的方程為，代入，

得

∴

設AN與軸相交于點（），則，解得

 

∴

∴，即AN交軸于（）

同理BM交軸于（）。

∴AN與BM的公共點在軸上。