Question

已知x=0是函數f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點，且函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式并求單調區間．
（Ⅱ）設g（x）=

f′(x)

ex

，其中x∈[-2，m]，問：對于任意的m＞-2，方程g（x）=（m-1）²在區間（-2，m）上是否存在實數根？若存在，請確定實數根的個數．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x=0是函數f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點，f^′（0）=0，得到關于a，b的一個方程，函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²，f^′（2）=2e²；得到一個關于a，b的一個方程，解方程組求出a，b即可；（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在區間（-2，m）上是否存在實數根，轉化為求函數g（x）在區間（-2，m）上的單調性、極值、最值問題．

解答：解：（I）f^′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
由f^′（0）=0得b=-a∴f^′（x）=[x²+（a+2）x]e^x
又f^′（2）=2e²
∴[4+2（a+2）]e²=2e²
故a=-3
令f^′（x）=（x²-x）e^x≥0得x≤0或x≥1
令f^′（x）=（x²-x）e^x＜0得0＜x＜1
故：f（x）=（x²-3x+3）g^x，單調增區間是（-∞，o]，[1，+∞），單調減區間是（0，1）．
（Ⅱ）解：假設方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區間（-2，m）上存在實數根
設x₀是方程g(x)= 

2

3

(m-1)2的實根，

x

2 0

- x0 = 

2

3

(m-1)2，
令h(x)=x2-x-

2

3

(m-1)2，從而問題轉化為證明方程h(x)=x2-x-

2

3

(m-1)2=0
在（-2，m）上有實根，并討論解的個數
因為h(-2)=6-

2

3

(m-1)2=-

2

3

(m+2) (m-4) ，h(m)=m(m-1)-

2

3

(m-1)2= 

1

3

(m+2)(m-1)，
所以
①當m＞4或-2＜m＜1時，h（2）-h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解
②當1＜m＜4時，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于h(0)=-

2

3

(m-1)2 ＜0，
所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有兩解
③當m=1時，h（x）=x²-x=0?x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；
當m=4時，h（x）=x²-x6=0?x=-2或x=3，
所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在區間（-2，m）上均有實數根
且當m≥4或-2＜m≤1時，有唯一的實數解；當1＜m＜4時，有兩個實數解．

點評：考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，求函數f（x）的解析式體現了方程的思想；方程根的個數問題轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，再求函數最值中，又用到了分類討論的思想；屬難題．