Question

設函數f（x）=ax²+8x+3（a＜0），對于給定的負實數a，有一個最大正數l（a），使得
x∈[0，l（a）]時，不等式|f（x）|≤5都成立．
（1）當a=-2時，求l（a）的值；
（2）a為何值時，l（a）最大，并求出這個最大值，證明你的結論．

Answer 1

分析：由題意（1）由于a=-2，代入函數f（x）=ax²+8x+3（a＜0），使得f（x）的解析式具體，畫出圖形即可；
（2）由題意及二次函數為開口向下的要使x∈[0，l（a）]時，不等式|f（x）|≤5都成立，利用分類討論的思想可以求解．

解答：解：（1）當a=-2，f（x）=-2x²+8x+3最大值11，
令|f（x）|=5只須考慮-2x²+8x+3=5
得x=2±

3

．如圖，l（a）=2-

3

．
（2）f（x）=ax²+8x+3，
∵a＜0，對稱軸x=-

4

a

＞0，f（x）的最大值

4×3•a-64

4a

=

3a-16

a

，
當

3a-16

a

＞5即a＞-8時，取x²+8x+3=5得x=

-4± 16+2a

a

．
如圖l(a)=

-4+ 16+2a

a

=

2

16+2a +4

＜

1

2

，
當

3a-16

a

≤5即a≤-8時，
取-（ax²+8x+3）=5得x=

-4± 16-8a

a

，
取l(a)=

-4- 16-8a

a

=

8

16-8a -4

≤

8

80 -4

=

5 +1

2

（當a=-8時取等號）
∴當a=-8時，l（a）最大，最大值是

5 +1

2

．

點評：此題考查了二次函數在閉區間上的最值，還考查了分類討論的思想及無理不等式的求解．