Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，且，，，為中點.

（1）求證：平面平面；

（2）若線段上存在點，使得二面角的大小為，求的值；

（3）在（2）的條件下，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】分析：（1）證明PE⊥AD，PE⊥BE，即可證明PE⊥平面ABCD，從而證明平面PAD⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，求出平面EBQ和平面EBC的法向量，由此表示二面角Q-BE-C，求出的值；
（3）利用在平面EBQ法向量上的投影，求出點C到平面QEB的距離．

（1）證明：連接，，

∵是等邊三角形，為中點，∴，

又∵，∴，，∴，且，

∴四邊形為矩形，∴，，

∴，∴，

又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

（2）如圖建系，，，，，，

設，，

∴ ，

設平面的法向量為，

∴，

∴，

平面的法向量不妨設為，

∴，

∴，∴或（舍），

∴.

（3）.