Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（I）當a＞0時，求函數y=f（x）的極值；
（II）若函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點連線的斜率都小于2，求證：-

6

＜a＜

6

；
（III）對任意x₀∈[0，1]，y=f（x）的圖象在x=x₀處的切線的斜率為k，求證：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要條件．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f'（x），然后令f'（x）=0求得方程的根據，然后判定每個區間上的導數符號，從而求出函數的極值點，代入原函數即可求出極值；
（II）設x₁，x₂∈R則k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜2，即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+2＞0，對x₁∈R恒成立，利用判別式可知△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+2）＜0，對x₂∈R恒成立，再運用判別式可求出a的范圍；
（III）k=f'（x）=-3x²+2ax，對任意的 x∈（0，1），|k|≤1，可轉化成|-3x²+2ax|≤1對任意的x∈（0，1）恒成立，
等價于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x對任意的x∈（0，1）恒成立，可求出a的范圍．

解答：解：（I）f'（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2

3

a） 由f'（x）=0得，x=0或x=

2a

3

而a＞0，列出下表

x	（-∞，0）	0	（0， 2a 3 ）	2a 3	（ 2a 3 ，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

所以，當x=0時，f（x）取得極小值，極小值等于b；
當x=

2a

3

，f（x）取得極大值，極大值等于

4a3

27

+b；  …..（4分）
證明：（II）設函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨設x₁＞x₂
設x₁，x₂∈R則k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜2
即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+2＞0，對x₁∈R恒成立
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+2）＜0，對x₂∈R恒成立
即3x₂²-2ax₂+（8-a²）＞0對x₂∈R恒成立
∴4a²-12（8-a²）＜0
解得a²＜6⇒：-

6

＜a＜

6

；  
（III）k=f'（x）=-3x²+2ax   x∈（0，1），
∴對任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x²+2ax|≤1對任意的x∈（0，1）恒成立
等價于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x對任意的x∈（0，1）恒成立．
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
則

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1）

1

x

+3x≥2

3

，當且僅當x=

3

3

時“=”成立，∴g（x）_min=2

3

h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上為增函數∴h（x）_max＜2
∴1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要條件．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及恒成立問題的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．