Question

已知數列滿足遞推式：．
(Ⅰ)若，求與的遞推關系（用表示）；
(Ⅱ)求證：．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）要得與的遞推關系，首先找到與的遞推關系.由，
代入與的遞推關系便可得與的遞推關系．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

數列中涉及前項和的不等式的證明，一般有兩個大的方向，一種是先求和，后放縮；一種是先放縮，后求和.在本題中顯然不可能先求和.所以選擇先放縮后求和的方法.本題中還是一個有絕對值符號的式子，所以還應去掉絕對值符號.在去絕對值符號時，需要對分奇數與偶數討論：，注意這里的分母，一個是加1，一個是減1，這種情況下，不能單獨放縮，而是將兩項相加后再放縮.
，這樣再分是奇數和偶數，就可使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）…………………①
代入①式得，
即．
（Ⅱ）.
對分奇數與偶數討論：，則
，則
；
又
．
綜上所述，原不等式成立．
考點：1、遞推數列；2、不等式的證明.