Question

已知實數m>1，定點A（－m，0），B（m，0），S為一動點，點S與A，B兩點連線斜率之積為

   （1）求動點S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；

   （2）當時，問t取何值時，直線與曲線C有且只有一個交點？

   （3）在（2）的條件下，證明：直線l上橫坐標小于2的點P到點（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率.

Answer 1

解：（1）設.

       由題意得

       ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項點），其中長軸長為2，短軸長為2.

   （2）當m=時，曲線C的方程為

       由

       令

       此時直線l與曲線C有且只有一個公共點.

   （3）直線l方程為2x－y+3=0.

       設點表示P到點（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，

       則

      

       令

       則

       令

      

       ∴的最小值等于橢圓的離心率。