Question

如圖，已知二次函數，直線，直線（其中，為常數）；.若直線的圖象以及的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求陰影面積s關于t的函數的解析式；
（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2） ，  
（3）所求的實數m的取值范圍是

（I）由圖可知二次函數的圖象過點（0，0），（1，0）
則，又因為圖象過點（2，6）∴6=2a∴a=3
∴函數的解析式為  ………3分
（Ⅱ）由得

∵，∴直線與的圖象的交點橫坐標分別為0,1+t ,
……………5分
由定積分的幾何意義知：

 ，             ……………8分
（III）∵曲線方程為，，∴，
∴點不在曲線上。設切點為，則點M的坐標滿足
,因，故切線的斜率為
，整理得.
∵過點可作曲線的三條切線，
∴關于x₀方程有三個實根.             ……………12分
設，則，由得
∵當∴在上單調遞增，
∵當，∴在上單調遞減.
∴函數的極值點為，
∴關于x₀方程有三個實根的充要條件是，
解得，故所求的實數m的取值范圍是。     ………15分