Question

已知函數f（x）=x²-ax+2a-1（a為實常數）．
（1）若a=0，求函數y=|f（x）|的單調遞增區間；
（2）設f（x）在區間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（3）設h（x）=

f(x)

x

，若函數h（x）在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，f（x）=x²-1，結合函數y=|f（x）|的圖象可得它的增區間．
（2）函數f（x）=x²-ax+2a-1的對稱軸為 x=

a

2

，分當

a

2

≤1時、當1＜

a

2

＜2時、和當

a

2

≥2時三種情況，分別求得g（a），綜合可得結論．
（3）根據 h(x)=

f(x)

x

=x+

2a-1

x

-a，再分當2a-1≤0和當2a-1＞0時兩種情況，根據h（x）在區間[1，2]上是增函數，分別求得a的范圍，再取并集．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x²-1，則結合y=|f（x）|的圖象可得此函數在（-1，0），（1，+∞）上單調遞增．
（2）函數f（x）=x²-ax+2a-1的對稱軸為 x=

a

2

，當

a

2

≤1時，即a≤2，g（a）=f（1）=a；
當1＜

a

2

＜2時，即2＜a＜4，g(a)=f(

a

2

)=-

a2

4

+2a-1；
當

a

2

≥2時，即a≥4，g（a）=f（2）=3；
綜上：g(a)=

a，a≤2 - a2 4 +2a-1，2＜a＜4 3，a≥2.

．
（3）∵h(x)=

f(x)

x

=x+

2a-1

x

-a，
當2a-1≤0，即a≤

1

2

，h（x）是單調遞增的，符合題意．
當2a-1＞0，即a＞

1

2

時，h（x）在(0，

2a-1

]單調遞減，在(

2a-1

，+∞)單調遞增．
令

2a-1

≤1，求得

1

2

＜a≤1．
綜上所述：a≤1．

點評：本題主要考查二次函數的性質，求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．