Question

過點P₀（1，0）作曲線C：y=x³（x∈（0，+∞））的切線，切點為Q₁，過Q₁作x軸的垂線交x軸于點P₁，又過P₁作曲線C的，切點為Q₂，過Q₂作x軸的垂線交x軸于點P₂，…，依次下去得到一系列點Q₁，Q₂，Q₃，…，設點Q_n的橫坐標為a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求和

n

i=1

i

ai

；
（3）求證：an＞1+

n

2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由曲線C：y=x³，求導得切線斜率，切點Q_n的坐標（a_n，a_n³），得切線方程，切線過點P_n-1（a_n-1，0），代入方程，得關于數列{a_n}項的關系式，變形得出數列{a_n}為等差數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）把每一項的分子用錯位相減法都化為1，然后用等比數列的前n項和求解．
（3）法1，把

3

2

分解為1+

1

2

后用二項式定理，取前兩項即可；
法2，用數學歸納法：第一步，當n=2時，結論成立；第二步，假設n=k時，結論成立，證明n=k+1時結論也成立．

解答：解：（1）∵y=x³，∴y′=3x²，設Q_n的坐標為（a_n，a_n³），
則切線方程為y-a_n³=3a_n²（x-a_n），
切點為Q₁時，過點P₀（1，0），
即：0-a₁³=3a₁²（1-a₁），
依題意a₁＞0．所以a1=

3

2

．（2分）
當n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0），
即：0-a_n³=3a_n²（a_n-1-a_n），
依題意a_n＞0，所以an=

3

2

an-1(n＞1)．（3分）
所以數列a_n是首項為

3

2

，
公比為

3

2

的等比數列．所以an=(

3

2

)n．（4分）
（2）記S_n=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，
因為

1

an

=

2

3

•

1

an-1

，
所以

2

3

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

．（5分）
兩式相減得：

1

3

Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1．（7分）
∴Sn=

n

i=1

i

ai

=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-2(n+3)(

2

3

)n．（9分）
（3）①證法1：an=(1+

1

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

) +

C

2 n

(

1

2

)2+…+

C

n n

(

1

2

)n
＞

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)=1+

n

2

(n≥2)．（14分）
②證法2：當n=2時，a2=(

3

2

)2=

9

4

=1+

5

4

＞1+

2

2

．（10分）
假設n=k時，結論成立，即ak＞1+

k

2

，
則ak+1=

3

2

ak＞

3

2

(1+

k

2

)=1+

1

2

+

3

2

•

k

2

＞1+

1

2

+

k

2

=1+

k+1

2

．
即n=k+1時．ak+1＞1+

k+1

2

．（13分）
綜上，an＞1+

n

2

，（n≥2，n∈N^*）．（14分）

點評：本小題主要考查數列、導數、不等式和數學歸納法等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及邏輯推理，抽象概括能力，運算求解能力和創新意識，此題有點難度，需要同學們掌握．用錯位相減法求數列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數列的項與等比數列的項的乘積．