Question

（本小題滿分16分）已知函數＝，，,為常數。

（1）若函數在＝1處有極值10，求實數,的值；

（2）若＝0，(I)方程＝2在∈[－4,4]上恰有3個不相等的實數解，求實數的取值范圍；(II)不等式＋2≥0對∈[1，4]恒成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）f’(x)＝3x²－2ax－b，

由f(x)在x＝1處有極值10，得f’(1)＝0，f(1)＝10。   （2分）

即3－2a－b＝0，1－a－b＋a^‑2＝10，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11。 （4分）

經檢驗，a＝3，b＝－3不合題意，舍去。

∴a＝－4，b＝11。                     （5分）

（2）(I)由f(x)＝2，得f(x)－2＝0，令g(x)＝f(x)－2＝x³－bx－2，則方程g(x)＝0在x∈[－4,4]上恰有3個不相等的實數解。  ∵g’(x)＝3x²－b，                                 

（ⅰ）若b≤0，則g’(x)≥0恒成立，且函數g(x)不為常函數，∴g(x)在區間[－4,4]上為增函數，不合題意，舍去。          （6分）

（ⅱ）若b＞0，則函數g(x)在區間(－∞，－)上為增函數，在區間(－，)上為減函數，在區間(，＋∞)上為增函數，由方程g(x)＝0在x∈[－4,4]上恰有3個不相等的實數解，可得 （9分）

解得   ∴b∈        （ 10分 ）

(II)法一：由不等式f(x)＋2b≥0，得x³－bx＋2b≥0，即(x－2)b≤x³，

（ⅰ）若x－2＝0即x＝2時，b∈R；   （11分）             

（ⅱ）若x－2＜0即x∈時，b≥在區間上恒成立，令h(x)＝，則b≥h(x)_max。∵h’(x)＝，∴h’(x)＜0在x∈上恒成立，所以h(x)在區間上是減函數，∴h(x)_max＝h(1)＝－1，∴b≥－1。        （13分）

（ⅲ）若x－2＞0即x∈時，b≤在區間上恒成立，則b≤h(x)_min。

由（ⅱ）可知，函數h(x)在區間上是減函數，在區間上是增函數，

∴h(x)_min＝h(3)＝27，∴b≤27  (15分)

綜上所述，b∈[－1，27]        (16分)

法二：      設     （11分）

當時，，在[1,4]上為增函數,  ，   所以 ，      （12分）

當時，在區間(－∞，－)上為增函數，在區間(－，)上為減函數，在區間(，＋∞)上為增函數，

若，即時，在[1,4]上為增函數,

 所以 ，       （13分）

若時，時，在上為減函數，在上為增函數，

所以， 得   （14分）

若時，即時，在[1,4]上為減函數, ，

得，舍去。  （15分）

故 的取值范圍是   (16分)

【解析】略