Question

用數學歸納法證明：

（1）7²ⁿ-4²ⁿ-297能被264整除；

（2）aⁿ⁺¹+(a+1)²ⁿ-1能被a²+a+1整除（其中n,a為正整數）.

Answer 1

證明：（1）當n=1時，7²ⁿ-4²ⁿ-297=-264,能被264整除，假設n=k時，7^2k-4^2k-297能被264整除.

當n=k+1時，7^2(k+1)-4^2(k+1)-297=49×(7^2k-4^2k-297)+33×4^2k+48×297

=49×(7^2k-4^2k-297)+33×8×(2^4k-3+6×9)

=49×(7^2k-4^2k-297)+264×(2^4k-3+6×9)能被264整除，命題正確.

（2）當n=1時，aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1=a²+a+1,能被a²+a+1整除，假設n=k時，aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a+1整除.

當n=k+1時，a^k+2+(a+1)^2k+1=(a+1)²［a^k+1+(a+1)^2k-1］+a^k+2-a^k+1(a+1)²

=(a+1)²［a^k+1+(a+1)^2k-1］-a^k+1(a²+a+1)能被a²+a+1整除.