Question

（04年上海卷文）(18分)

設P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲線C上的點, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²構成了一個公差為d(d≠0) 的等差數列, 其中O是坐標原點. 記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)      若C的方程為－y²=1,n=3. 點P₁(3,0) 及S₃=162, 求點P₃的坐標；

 (只需寫出一個)

(2)      若C的方程為y²=2px(p≠0). 點P₁(0,0), 對于給定的自然數n, 證明：

(x₁+p)², (x₂+p)², …,(x_n+p)²成等差數列；

(3)      若C的方程為(a>b>0). 點P₁(a,0), 對于給定的自然數n, 當公差d變化時, 求S_n的最小值.

      

 

 

 

Answer 1

解析：(1) a₁=²=9,由S₃=(a₁+a₃)=162,得a₃=³=99.

由	－y2=1	,得	x=90
	x+y=99		y=9

  

 

 

 

 

 

  ∴點P₃的坐標可以為(3,3).

(2)對每個自然數k,1≤k≤n,由題意²=(k－1)d,及

y=2pxk	,得x+2pxk=(k－1)d
x+y=(k－1)d

即(x_k+p)²=p²+(k－1)d,

 ∴(x₁+p)², (x₂+p)², …,(x_n+p)²是首項為p²,公差為d的等差數列.

   (3) 【解法一】原點O到二次曲線C:(a>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+(n－1)d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0)上遞增,

  故S_n的最小值為na²+?=.

  【解法二】對每個自然數k(2≤k≤n),

        

由	x+y=a2+(k－1)d	,解得y=
	+=1

     ∵0< y≤b²,得≤d<0

     ∴≤d<0

    以下與解法一相同.