Question

已知{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）對任意n∈N^*，是否存在正實數λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q，
∵a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
∴

2+2d+2q3=24 10+10d-2q3=24

，解得

d=3 q=2

．
∴an=3n-1，bn=2n
（2）假設存在正實數λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2ⁿ，即λ≥

3n-10

2n

對任意n∈N^*恒成立．
設cn=

3n-10

2n

，
則cn+1-cn=

3(n+1)-10

2n+1

-

3n-10

2n

=

13-3n

2n+1

，
當n≥5時，c_n+1＜c_n，{c_n}為單調遞減數列；
當1≤n＜5時，c_n+1＞c_n，{c_n}為單調遞增數列．
又c4=

1

8

＜c5=

5

32

，
所以當n=5時，c_n取得最大值

5

32

所以要使λ≥

3n-10

2n

對任意n∈N^*恒成立，
則λ≥

5

32

，
即λmin=

5

32

．