Question

15、在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，則下列四個命題：
①P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC體積不變；
②P在直線BC₁上運動時，直線AP與平面ACD₁所成角不變；
③P在直線BC₁上運動時，二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M在平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁的距離相等的點，則M點的軌跡是直線A₁D₁，
其中真命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，底不變，所以體積不變．
②通過舉例說明，如直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等．
③P在直線BC₁上運動時，可知AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響．
④M在平面A₁B₁C₁D₁內，而點D和C₁距不在平面A₁B₁C₁D₁內，且距離相等，則點M的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線．而DD₁=D₁C₁，所以必過D₁點．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一點到平面AD₁C的距離相等，所以體積不變，正確．
②P在直線BC₁上運動時，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，所以不正確．
③當P在直線BC₁上運動時，AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響，所以正確．
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，∴M點的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線，而DD₁=D₁C₁，所以正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是棱柱的結構特征，棱錐的體積，直線與平面所成的角，二面角的平面角及求法，其中熟練掌握正方體的幾何特征是解答本題的關鍵．