Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，S_n為其前n項(xiàng)和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，c_n=

2

bnbn+1

，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．若對(duì)于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，利用性質(zhì)建立方程，再用首項(xiàng)與公比將此方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于公比的等式，解出公比的值得出通項(xiàng)；
（2）依次求出b_n、c_n，根據(jù)所得出的形式，裂項(xiàng)求和即可．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q．
∵5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，∴2S₃=5S₁+3S₂．
即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q)，化簡(jiǎn)得2q²-q-6=0，
解得：q=2或q=-

3

2

．由已知，q=2．∴an=2n．…（6分）
（2）由b_n=log₂a_n得bn=log22n=n．
∴cn=

2

bnbn+1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)．…（9分）
∴Tn≤λ(n+4)?λ≥

2n

(n+1)(n+4)

=

2

n+ 4 n +5

…（12分）
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n=

4

n

即n=2時(shí)等號(hào)成立，
∴

2

n+ 4 n +5

≤

2

9

．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[

2

9

，+∞)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，數(shù)列求和的技巧，不等式恒成立的轉(zhuǎn)化，綜合性質(zhì)較強(qiáng)，解答時(shí)要細(xì)致認(rèn)真，才能解答完整．