Question

在美化校園的植樹活動中，某同學共種了6棵樹，各棵樹的成活與否是相互獨立的每棵樹成活的概率均為p．已知該同學所種樹中有3棵成活的概率為．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若有3棵或3棵以上的樹未成活，則需要補種，求需要補種的概率；
（Ⅲ）設ξ為成活樹的棵數，求Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵各棵樹成活與否是相互獨立的，每棵樹成活的概率均為p，
本題是一個獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到
∴，解得

（Ⅱ）∵有3棵或3棵以上的樹未成活，則需要補種
記“需要補種”為事件A，則包括有
A₁：3顆未成活、A₂：有4顆未成活、A₃：有5顆未成活、A₄：有6顆未成活共四種情況
，
，
∴
（Ⅲ）由題意知，ξ服從二項分布
∴Eξ=np=3，或ξ的分布列為

∴
分析：（Ⅰ）各棵樹成活與否是相互獨立的，每棵樹成活的概率均為p，本題是一個獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到等式，解出未知數即可．
（Ⅱ）有3棵或3棵以上的樹未成活，則需要補種，需要補種包括則包括有：3顆未成活、有4顆未成活、有5顆未成活、有6顆未成活共四種情況，用獨立重復試驗公式寫出結果．
（Ⅲ）由題意知，ξ為成活樹的棵數，各棵樹的成活與否是相互獨立的，得到變量符合二項分布，根據二項分布寫出分布列和期望．
點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．