Question

設f（x）=log

1

2

(

1-ax

x-1

)為奇函數，a為常數，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）內單調遞增；
（Ⅲ）若對于[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義找關系求解出字母的值，注意對多解的取舍．
（2）利用單調性的定義證明函數在給定區間上的單調性，關鍵要在自變量大小的前提下推導出函數值的大小．
（3）將恒成立問題轉化為函數的最值問題，用到了分離變量的思想．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）．
∴log

1

2

(

1+ax

-x-1

)=-log

1

2

(

1-ax

x-1

)?

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

＞0?1-a2x2=1-x2?a=±1．
檢驗a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知f(x)=log

1

2

(

x+1

x-1

)
證明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴0＜

2

x1-1

＜

2

x2-1

?1+

2

x1-1

＜1+

2

x2-1

?0＜

x1+1

x1-1

＜

x2+1

x2-1

?log

1

2

(

x1+1

x1-1

)＞log

1

2

(

x2+1

x2-1

)
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）內單調遞增．
（3）對[3，4]于上的每一個x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，即f(x)-(

1

2

)x＞m恒成立．
令g(x)=f(x)-(

1

2

)x．只需g（x）_min＞m，
又易知g(x)=f(x)-(

1

2

)x在[3，4]上是增函數，
∴g(x)min=g(3)=-

9

8

．
∴m＜-

9

8

時原式恒成立．

點評：本題是以對數函數為載體考查函數基本性質的小綜合題，用到了函數奇偶性，函數單調性的定義．恒成立問題中求字母的取值范圍問題往往通過分離變量轉化為函數的最值問題，體現了等價轉化的思想．