精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設向量 $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ ．
（1）若 $數(shù)學公式$ （0＜x＜ $數(shù)學公式$ ），求tanx的值；
（2）求函數(shù)f（x）= $數(shù)學公式$ 的最小正周期和函數(shù)在 $數(shù)學公式$ 的最大值及相應x的值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴sinxcosx- $\text{[math]}$ cos²x=0．
∵0＜x＜ $\text{[math]}$ ，∴sinx- $\text{[math]}$ cosx=0，tanx= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）函數(shù)f（x）= $\text{[math]}$ =sinxcosx- $\text{[math]}$ cos²x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$
=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，故它的最小正周期為 $\text{[math]}$ =π．
再由 $\text{[math]}$ ，可得 2x+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故當 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 時，函數(shù)取得最大值為 $\text{[math]}$ ，此時，x= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用兩個向量平行的性質可得 sinxcosx- $\text{[math]}$ cos²x=0，再由 0＜x＜ $\text{[math]}$ ，以及同角三角函數(shù)的基本關系求得tanx的值．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積公式以及兩角和差的正弦公式求得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由此求得它的最小正周期．再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最大值．
點評：本題主要考查兩個向量平行的性質，兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關系，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．

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