Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a₁=1的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若b_n=log₂|a_n|，（n∈N₊），設(shè)T_n為數(shù)列{

bn+1

|an|

}的前n項和，求證：T_n＜4．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，即可求出公比，再由通項公式即可得到；
（2）化簡b_n，及

bn+1

|an|

，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，求出T_n，整理即可得證．

解答： （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵且S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列，
∴S₃+S₄=2S₂，
即（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂+a₃+a₄）=2（a₁+a₂）
∴2a₃+a₄=0，q=

a4

a3

=-2，
∴a_n=a₁q^n-1=（-2）^n-1；
（2）證明：|a_n|=2^n-1，bn=log22n-1=n-1，
∴

bn+1

|an|

=

n

2n-1

，
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

---------①

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

------②
①-②得，

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

∴Tn=4-(

4

2n

+

2n

2n

)，
∵

4

2n

+

2n

2n

＞0，
∴T_n＜4．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項和求和公式，同時考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查基本的運算能力，是一道綜合題．