Question

已知f（x）=ax²+bx+c的圖象過點（-1，0）是否存在常數a，b，c，使得不等式x≤f（x）≤

1+x2

2

對一切實數x都成立，若存在，求出a，b，c；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：通過圖象過一點得到a、b、c一關系式，觀察發現1≤f（1）≤1，又可的一關系式，再將b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤

1+x2

2

對一切實數x都成立可轉化成兩個一元二次不等式恒成立，即可解得．

解答： 解：∵f（x）的圖象過點（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

1+x2

2

對一切x∈R均成立，
∴當x=1時也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

1+x2

2

對一切x∈R成立，
也即

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立，
即

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0 1-2a＞0

，
解得a=

1

4

．
∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴常數a，b，c的值為：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

．

點評：本題考查了函數恒成立問題，以及二次函數的性質，賦值法（特殊值法）可以使問題變得比較明朗，它是解決這類問題比較常用的方法．