Question

【題目】已知數集A={a1 ， a2…an}（0≤a1＜a2…＜an ， n≥2）具有性質P；對任意的 i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj與aj﹣ai兩數中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數集{0，1，3，4}與{0，2，3，6}是否具有性質P，并說明理由；
（2）證明：a1=0，且nan=2（a1+a2+a+..+an）
（3）當n=5時若 a2=2，求集合A．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于0+1，0+2，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3，都屬于數集{0，1，3，4}，

∴該數集具有性質P．

由于2+3與3﹣2均不屬于數集{0，2，3，6}，∴該數集不具有性質P

（2）證明：令j=n，i＞1，則∵“ai+aj與aj﹣ai兩數中至少有一個屬于A”，

∴ai+aj不屬于A，∴an﹣ai屬于A．

令i=n﹣1，那么an﹣an﹣1是集合A中某項，a1不行，是0，a2可以．

如果是a3或者a4，那么可知an﹣a3=an﹣1，那么an﹣a2＞an﹣a3=an﹣1，只能是等于an了，矛盾．

所以令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1，

同理，令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an=ai+an+1﹣i，

∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an= an．

即nan=2（a1+a2+a+..+an）

（3）解：當 n=5時，取j=5，當i≥2時，ai+a5＞a5，

由A具有性質P，a5﹣ai∈A，又i=1時，a5﹣a1∈A，

∴a5﹣ai∈A，i=1，2，3，4，5

∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，

則a5﹣a1=a5，a5﹣a2=a4，a5﹣a3=a3，

從而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4﹣a3=a3﹣a2＜a3，

又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4A，則a4﹣a3∈A，則有a4﹣a3=a2=a2﹣a1．

又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2，

即a1，a2，a3，a4，a5是首項為0，公差為a2=2等差數列，

∴A={0，2，4，6，8}

【解析】（1）利用ai+aj與aj﹣ai兩數中至少有一個屬于A．即可判斷出結論．（2）令j=n，i＞1，由“ai+aj與aj﹣ai兩數中至少有一個屬于A”，可得an﹣ai屬于A．令i=n﹣1，那么an﹣an﹣1是集合A中某項，a1不行，是0，a2可以．同理可得：令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1 ， 令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an=ai+an+1﹣i ， 倒序相加即可得到．（3）當 n=5時，取j=5，當i≥2時，ai+a5＞a5 ， 由A具有性質P，a5﹣ai∈A，又i=1時，a5﹣a1∈A，可得a5﹣ai∈A，i=1，2，3，4，5，a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，則a5﹣a1=a5 ， a5﹣a2=a4 ， a5﹣a3=a3 ， 又a3+a4＞a2+a4=a5 ， 可得a3+a4A，則a4﹣a3∈A，則有a4﹣a3=a2=a2﹣a1 ． 可得a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5是首項為0，公差為a2=2等差數列．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．